POINT CLOUD
VETTORI NORMALI o ORTOGONALI (il vettore normale alla superficie è il vettore ad esso perpendicolare)
- quando ho una curva, il vettore normale varia progressivamente
- su uno spigolo, la normale cambia improvvisamente da un orientamento ad un altro molto diverso
OPERAZIONI CON PUNTI E VETTORI
DIFFERENZA TRA VETTORI
- p-q=v → la differenza tra 2 punti mi da un vettore
- la freccia risultante però è indipendente tra i 2 punti
- spazialmente faccio la differenza punta meno coda del vettore
- p+v=q → sposto il punto con v e ottengo un nuovo punto, pk le coordinate sono diverse
APPUNTI
- le coordinate di un vettore sono pari al delta tra il punto iniziale e finale per ogni coordinata
- sia in x, y, z
- il vettore indica lo spostamento nel suo concetto astratto
- ||v|| → lunghezza del vettore/estensione/norma del vettore, NON le sue coordinate
- si calcola con la formula di Pitagora
- è sempre positiva
- l’unico vettore di lunghezza 0 è il vettore degeneree, quello con coordinate tutte a 0
VETTORE UNITARIO
(spesso rappresentato con un cappuccio sopra)
- normalizzare = rendere il vettore unitario → scopo = avere l’informazione di solo la direzione e non la lunghezza
- norma = lunghezza vettore
- normalizzare = portare a lunghezza 1
- vettore unitario → descrive l’orientamento e basta
- un vettore si dice unitario se il quadrato delle sue coordinate è pari ad 1 (Pitagora), quindi
- le sue coordinate non possono mai essere maggiori di 1
- la loro somma deve essere 1
Ricorda che in un vettore le coordinate descrivono lo spostamento non la posizione, quindi a senso. Facendo pitagora per le sue 2 o 3 coordinate devo avere 1
ESEMPIO
- vettore unitario: q-p/||q-p|| = d unitario
- pk diviso la differenza tra vettori (un vettore) fratto la sua lunghezza
- operazioni come “punto + punto” nn ha senso matematico, attenzione al buon senso
CONSIDERAZIONI
||v+w|| ≠ ||v||+||w|| pk il primo è la somma tra 2 vettori, il secondo è la somma tra 2 lunghezze
||v+w|| ≤ ||v||+||w|| → è sempre vero e si chiama disuguaglianza triangolare
SINTESI (spiegato molto meglio)
MATEMATICA
- scalare k * vettore = vettore (scenari prevedibili in base a k)
- vettore + vettore = vettore (incremento il valore semantico astratto del vettore)
- punto + vettore v = punto (sposto il punto di un valore ||v||)
VETTORE
COORDINATE DI UN VETTORE
- SEMANTICA: le coordinate di vettore esprimono lunghezza e direzione (a partire da un origine virtuale che decedo io dove mettere)
- NON esprime una posizione e NON è considerato alcun punto iniziale specifico per lo spostamento
- MATEMATICA: differenza tra le rispettive coordinate x,y,z dei 2 punti iniziale e finale
- punto - punto = vettore
vettore unitario = norma
- descrive l’orientamento, NON lunghezza di un vettore
- formula di normalizzazione (ovvero ricavo le coordinate del vettore unitario):
- u = v / ||v|| → q-p/||q-p||
- v = coordinate del vettore(reale) → how: differenza tra punti: qui
- ||v|| = lunghezza (positivo) → how: Pitagora
- verifica normalizzazione: le coordinate di v devono essere minori di 1
- pk la lunghezza del vettore deve essere 1
- e dato che pitagora esprime la lunghezza del vettore, elevando le coordinate al quadrato, devo mantenere valori ≤ 1 per avere una somma pari ad 1
- CONSIDERAZIONI
||v+w|| ≠ ||v||+||w|| pk il primo è la somma tra 2 vettori, il secondo è la somma tra 2 lunghezze
||v+w|| ≤ ||v||+||w|| → è sempre vero e si chiama disuguaglianza triangolare
SEMANTICA
- nuvola di punti → punto (un campione della superficie) → posizione, normale, altri attributo che descrivono la superficie
- normale di un campione: descrive l’orientamento locale della superfice del modello 3d, maggiore è la risoluzione della nuvola, maggiore è la precisione
- punto, vettore e scalare hanno applicazioni semantiche precise:
ESERCIZI
Made with Bullet