Polygonal Representations: intro + ess

• Ripasso concetto di processing nel ciclo produttivo: link

DEFINIZIONI

• MESH → una faccia geometrica composta da un insieme di vertici (punti), edge (spigoli) e facce che definiscono la forma di un oggetto.

TIPOLOGIE

• Triangle mesh: la struttura dati per il processing del modello 3D più utilizzato
• detto anche simpliciale pk per 3 punti ci passa solo un triangolo, può di 4 può addirittura essere non complanare

• quad-mesh: solo quadrilateri

• quad dominant mesh: molti quadrilateri ma anche altro

• polygonal mesh: numero generale di lati

💡

diagonal split

criteri mesh regolari

regolare ≠ 2 manifold

• regolare = Ogni vertice ha la stessa valenza (es: 6 per tri-mesh, 4 per quad-mesh)

• Two-manifold = fa0n connesso di facce per ogni vertice, massimo 2 facce adiacenti per ogni edge, ogni faccia segue lo stesso orientamento

• Inoltre, in media, per una mesh triangolare chiusa, il numero di facce è circa il doppio del numero di vertici

CARATTERISTICHE

WIREFRAME: modello 3d meshato (non necessariamente del tutto)

• anche per le nuvole di punti abbiamo visto una definizione di wireframe

COMPONENTI DI UNA MESH

• campionare = registrare le caratteristiche di un modello 3d in un determinato punto. Queste caratteristiche sono organizzate in 3 COMPONENTI:
• geometria
• connettività e attributo
• CONNETTIVITA’ → definiscei vertici che compongono la mesh
• Ipergrafi : e non grafi, pk connettono più di 2 nodi???
• GEOMETRIA: posizioni dei vertici (nuvola di punti)
• ATTRIBUTI: rappresentano valori costanti su ogni faccia

COME RAPPRESENTARE UNA MESH

• geometria = lista numerata di vertici espresse per coordinate
• i vertici sono delle coordinate cartesiane

• connettività = lista numerata di facce espresse per vertici]
• le facce sono sequenze di indici che rappresentano i vertici
• l’ordine delle cifre deve essere tutto in senso orario o antiorario per uno stesso modello 3d, mai a caso es. [1,5,2,3] non esiste (probabilmente serve per definire il senso delle normali)
esempio file (chiamato Index Mesh) contenente geometria (sx) e connettività (dx)



• faccia pentagonale

• variante struttura file

• attributi
• posso memorizzarli per ogni faccio oppure per ogni vertice (nell’immagine evidentemente è per vertice)
• per faccia: gli attributi sono costanti a tratti, ovvero sono discontinui passando da una faccia all’altra
• per vertice: ho totale continuità

IN CHE MODO LA MEMORIZZAZIONE DEGLI ATTRIBUTI PER VERTICE CREA CONTINUITA?

1. la GPU converte la mesh in triangle mesh (in generale è progettata per lavorare su questa struttura dati)

2. ALGORITMO DI INTERPOLAZIONE PER EDGE E PER FACCIA
SPIEGAZIONE ALGORITMO PER EDGE
case study: devo conoscere il peso che 2 vertici adiacenti esercitano SU UN PUNTO r dell’edge che anno in comune
definisco l’interpolazione lineare (o blend) per ogni triangle mesh del modello 3d (FORMULA)
1. interpolazione lineare = combinazione lineare delle posizioni dei suoi vertici adiacenti (collegati da un edge)
2. FORMULA ( 1-t ) * p + t * q = mix( p, q, t )
Spiegazione
• per definire gli attributi che garantiscono continuità, in un punto R dell’edge, devo definire le distanze (coordinate baricentriche) che separano R dai 2 vertici
• Notare che 1-t + t = 1
• sono coordinate pk a loro modo, identificano un punto
• per semplicità li chiamo s=1-t e t rimane così
• p e q sono i 2 vertici i cui attributi agiscono sul generico punto R che giace sul segmento
come calcolo le CB dell’interpolazione lineare (FORMULA ESTESA)
• se prima avevo: ( 1-t ) * p + t * q
• semplificato nei coefficienti: s * p + t * q
questi coefficienti si ottengono col rapporto tra distanze
 

Cosa sono d0 e d1? Distanza calcolate in modulo

• la dicitura 1-t e t, deriva appunto da d0 e d1
• d0 = distanza da R dalla partenza (nota la formula → nel cap precedente abbiamo detto che il modulo esprime la lunghezza di un segmento)
• d1 = distanza da R all’arrivo
• R(s, t) → l’ordine conta, s è riferito a d0, t si riferisce a d1
logica incrociata interpolazione lineare
devo incrociare la CB con il vertice pk la distanza del segmento “dall’altra” parte determina il peso del punto
• ESEMPIO: considera il punto p, più R si avvicina ad q, minore è la distanza che separa R da q, questa distanza mi serve per ridurre il peso esercitato dal vertice p, “dall’altra”
• se il punto sta in q allora p a peso 0
SPIEGAZIONE ALGORITMO PER FACCIA
case study: devo conoscere il peso che 3 vertici della mesh esercitano su un punto R sulla faccia
devo adattare la formula di combinazione lineare ad un contesto con 3 vertici, per agire della faccia
• se prima usavo s * p + t * q = mix( p, q, t) ora aggiungo il terzo vertice e ridefinisco il significato dei coefficienti
• BLEND PER FACCIA: a0*v0 + a1*v1 + a2*v2
• a0 + a1 + a2 = 1
le CB a_k si definiscono in questo modo

• N.B.: i 3 triangoli minori A0, A1, A2 non sono le CB, devo prima dividerle ciascuno per A_tot
• non è richiesto sapere come calcolare i 3 triangolini
Formula per determinare il peso dei 3 vertici sul punto P nella faccia

• Il peso di ogni punto, nella formula, dipende dall’area dalla parte opposta: più si avvicina R ad un vertice v, maggiore è l’estensione dell’area che giace nel lato opposto



COORDINATE BARICENTRICHE
• ricordo che le CB rappresentano l’area
• ogni punto nella faccia ha le sue CB
• le più
ORA HO 3 COORDINATE BARICENTRICHE INTUITIVE
• il punto v0 = (1,0,0)
• il punto v1 = (0,1,0)
• il punto v2 = (0,0,1)
• il punto tra v1 e v0 = (0.5, 0.5, 0)
OSSERVAZIONI
• notare che nuerare i vertici è fondamentale per poi appore la sequenza ordinata delle voordinate: v(a0, a1, a2)
• ogni CB dipende dall’area dall’”altra parte”
• Una volta compreso come si definiscono le CB, ci sono casi intuitivi

osservazione breve

MESH SU UN PROGRAMMA (inutile)

• abbastanza intuitivo, ma nn importante

ESS DI DETERMINAZIONE COORDINATE BARICENTRICHE

• ultima domanda: (1/4, 3/3, 0)

• attenzione le coordinate di P(s, t) sono P(4/6; 2/6): ricordo che si incrocia (non solo nella formula)

• pitagora

• TIP: per calcolare n coordinate baricentriche di un punto, se ne ho calcolate n-1 con la formula, l’ultima la calcolo con una differenza: 1 - (le altre coordinate)

• Wireframe → mesh → vertici, spigoli, facce

• Tipologie di mesh

• tipologie di mesh e diagonal split

• poche terminologie sulla risoluzione

• memorizzazione attributi per vertice