trasformazioni spaziali 2/2

inversa composta

• se ho una matrice composta, l’inversa del prodotto è uguale al prodotto delle inverse scambiate di posto

 

ROTAZIONI

• Tutte le matrici di rotazioni, sono matrici in cui la trasposta corrisponde all’inversa

• Se moltiplico un matrice per la sua trasposta ottengo l’identità, pk sono uno l’inversa dell’altra → matrice ortonormale

COME SI SCRIVE UNA MATRICE DI ROTAZIONE GENERICA

premesse

• nelle lezione precedente abbiamo visto la rotazione del modello specificatamente di 90° ma si può generalizzare la formula

• inoltre pensavo che l’esempio fosse specifico per oggetti sull’origine del piano, ma nn è vero era solo un esempio, la formula è valida indipendentemente dall’oggetto sul piano

 

formula matrice di trasformazione

1. definisco l’angolo beta di rotazione che voglio applicare

2. costruisco la matrice calcolando seno e coseno secondo il patten della matrice di rotazione 4x4 di sotto

3. moltiplico la matrice per qualunque vettore

• la matrice influenza solo la x e la y

rotazione su uno dei 3 assi

• componendo queste 3 posso ruotare un oggetto in qualsiasi modo, anche attorno assi obliqui → ma sempre rispetto ad un origine. Se voglio cambiare punto di rotazione? QUI

• rispettivamente ruotano attorno all’asse, x,y,z lasciando quelle coordinate invariate

osservazioni

• inversa

COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI

• prima abbiamo detto che posso comporre le 3 formule per creare qualsiasi rotazione attorno all’origine

• ora cambio il punto di rotazione aggiungendo una semplice traslazione

• SINTESI ROTAZIONI VISTE CON LE MATRICI
• attorno ai 3 assi principali
• attorno a qualsiasi asse
• attorno a qualsiasi asse e qualsiasi punto di origine

TRASFORMAZIONE DI SHEARING

• non è molto importante

• l’area rimane la stessa, nn cambia ne la base ne l’altezza, quindi nn cambia nemmeno i volumi

SINTESI TRASFORMAZIONI AFFINI

• tutte le trasformazioni affini che possiamo ottenere si diramano su questi effetti



• data una qualsiasi trasformazione affine la posso sempre scomporre in una sequenza di trasformazioni 4x4 che esprimono ciascuno uno di questi passaggi
• una trasformazione affine è una trasformazione esprimibile con una matrice 4x4 con ultima riga = 0001: un insieme di 12 numeri mi rappresenta una trasformazione (12 pk la matrice 4x4 ha l’ultima riga sempre uguale) in cui

Queste operazioni sono applicabili con appositi software 2d (come visto in aula)

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